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“Il finito si misura dunque nello spazio e nel tempo attraverso un numero al quale sono in grado di pensare”

“Se possediamo nel contempo la gioia del finito e il dominio dell’infinito, credo che possiamo sfiorare la felicità. La felicità è sempre qualche cosa che è finita e infinita insieme”

“Sappiamo che l’infinito esiste e che, prima di tutto, ci sono perlomeno tanti numeri infiniti quanti sono quelli finiti, al punto che talvolta ci domandiamo se l’eccezionale non sia, in realtà, il finito, salvo naturalmente che per la nostra povera vita mortale, e non l’infinito, tutto sommato così banale.”

“Quando l’infinito dorme, il finito tace. Silenzio”

Alain Badiou


(traccia della conferenza nel progetto di approfondimento sulle geometrie)

INFINITO

  1. L’infinito non è un numero ma un concetto
    1. Il più grande numero con un nome
        1. Buddisti : asankhyeya 10140
        2. Mondo occidentale : googol 10100
        3. Googolplex: 10 elevato a un googol
  2. Nella cultura occidentale
    1. antica Grecia
      1. Distinzione in potenza e in atto
      2. A-peiron
      3. Platone (427 a.C. – 347 a.C.) il bene è finito
      4. Pitagora (575 a.C. – 495 a: C.) tutto è numero – problema degli irrazionali
      5. Democrito (460 a.C. – 360 a. C.) primi metodi infinitesimali
      6. Zenone di Elea (495 a.C. – 430 a. C.) paradossi
      7. Aristotele (384 a.C. –322 a.C.)
      8. Euclide (circa 300 a. C.) enciclopedia della matematica del tempo- metodo deduttivo
      9. Archimede (287 a. C. – 212 a. C.) stima di pi greco – L’Arenario (granelli di sabbia)
    2. I paradossi dell’infinito potenziale
      1. Achille e la tartaruga
      2. Paradosso degli interi e dei quadrati (Galileo)
      3. Paradosso della ruota (già in Aristotele, poi Galileo)
    3. Algebra
      1. Infinità dei numeri primi (Euclide)
      2. Viète (1540 – 1603) , Wallis (1616 – 1703) , Gregory (1638 – 1675): come somma di termini con approssimazione voluta
      3. le somme infinite: dalle successioni alle somme parziali
      4. il problema della convergenza
        1. la serie geometrica di ragione -1<q<1 converge
        2. per q= -1 , 0,1 o ½? Leibniz (pag 45 Maor)
        3. la serie armonica non converge
        4. paradossi: cambiando l’ordine degli addendi cambia il limite (Pag 50)
    4. Geometria
      1. 2° e 5° postulato di Euclide
        1. Gerolamo Saccheri (1667 – 1733) cerca di dimostrarlo, basi di nuova geometria
        2. Geometrie non euclidee (ellittica – iperbolica)
      2. Archimede e Democrito – metodo di esaustione
      3. procedimenti euristici
        1. Dagli “scaloni” alle piramidi equivalenti
        2. pi greco: dai poligoni alla lunghezza della circonferenza
        3. Cavalieri, Torricelli e Galilei – metodo degli indivisibili – concetto di infinitesimo
        4. la tromba di Torricelli
        5. i frattali
    5. Cantor
      1. contare come corrispondenza biunivoca, potenza del continuo
      2. apparenti paradossi
      3. nuova definizione di infinito (finito è ciò che non è infinito)
      4. numeri relativi e razionali
      5. numeri reali e potenza del continuo
      6. potenza superiori e insieme delle parti
      7. retta, segmento, quadrato, cubo
  3. l’infinito altrove
    1. In Cina
    2. In Arabia
  4. infinito e arte
    1. prospettiva
    2. nastro di Mobius
    3. Escher
  5. infinito e letteratura
    1. Tristram Shandy (Sterne, 1761)
    2. Carrol (1895) Ciò che la tartaruga disse ad Achille
    3. Il messaggio dell’Imperatore (Kafka 1917)
    4. la biblioteca di Babele – La scrittura di Dio(Borges)
    5. il paradosso di Richard
  6. infinito e fisica
    1. l’infinitamente piccolo e il movimento
    2. l’infinitamente grande e l’universo
      1. infinito e limitato?


Nel 1644 Evangelista Torricelli (1608-1647) pubblicò il suo unico libro, l’Opera geometrica. Uno dei risultati in esso contenuti, che fece scalpore fra i suoi contemporanei, fu il calcolo del volume del solido ottenuto ruotando un ramo di iperbole attorno al suo asse, y=1/x sull’intervallo [1, ∞) ovvero con x≥1. Torricelli lo chiamò solido acuto iperbolico, ma oggi si usano nomi più fantasiosi, da anfora di Zeus a tromba di Torricelli o tromba di Gabriele.
Il risultato era veramente inaspettato. Il solido ha infatti un volume finito, ma una superficie esterna e una sezione interna infinite. Il che significa, pensandolo come un recipiente, che si può riempire l’interno di vernice, ma non si può pitturare l’esterno! O, pensandolo come una torta, che si può mangiarla tutta intera, ma non a fette!
La paradossalità di questi risultati, in realtà, derivano soltanto da una visione ingenua dell’infinito. Dall’idea, cioè, che una serie infinita o un integrale illimitato dovessero necessariamente essere infiniti. Fonte: Piergiorgio Odifreddi, C’era una volta un paradosso. Storie di illusioni e verità rovesciate, Grandi Tascabili Einaudi, 2001